【題目】已知橢圓的中心在原點,離心率等于,它的一個短軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側的動點.
①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當運動時,滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
【答案】(1);(2)直線的斜率為定值。
【解析】試題分析:
(1)由拋物線的焦點坐標可得,再結合離心率可求得,從而可得橢圓的方程.(2)①設直線方程為,,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,然后由四邊形的特點得,根據函數的知識可得的最大值.②由可得直線的斜率之和為0,設的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后可得,同理,然后根據斜率公式求得直線AB的斜率驗證即可.
試題解析:
(1)由題意得拋物線的焦點為,
∴,
∵,
∴
∴,
∴橢圓的方程為.
(2)①由題意設直線方程為,
由消去y整理得,
∵直線AB與橢圓交于兩點,
∴,解得.
設,
則,
又,
∴,
∴當時,取得最大,
即四邊形面積的最大值為.
②當時,直線的斜率之和為0,
設直線的斜率為,則直線的斜率為,
故直線的方程為,
由消去y整理得
,
∴,
同理.
∴,
∴,
故直線的斜率為定值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,是上的一點.
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點,,且直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數為奇函數.
(1)求a的值,并證明是R上的增函數;
(2)若關于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求實數k的取值范圍.
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【題目】已知是橢圓()的左頂點,左焦點是線段的中點,拋物線的準線恰好過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖所示,過點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點,若為線段的中點,過作與直線垂直的直線,證明對于任意的(),直線過定點,并求出此定點坐標.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中, , ,以為直徑的圓記為圓,圓過原點的切線記為,若以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓的極坐標方程;
(2)若過點,且與直線垂直的直線與圓交于, 兩點,求.
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【題目】某網站從春節(jié)期間參與收發(fā)網絡紅包的手機用戶中隨機抽取2000名進行調查,將受訪用戶按年齡分成5組: 并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)求的值;
(2)從春節(jié)期間參與收發(fā)網絡紅包的手機用戶中隨機抽取一人,估計其年齡低于40歲的概率;
(3)估計春節(jié)期間參與收發(fā)網絡紅包的手機用戶的平均年齡.
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【題目】隨著共享單車的成功運營,更多的共享產品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產品層出不窮.某公司隨機抽取人對共享產品對共享產品是否對日常生活有益進行了問卷調查,并對參與調查的人中的性別以及意見進行了分類,得到的數據如下表所示:
(Ⅰ)根據表中的數據,能否在犯錯的概率不超過的前提下,認為對共享產品的態(tài)度與性別有關系?
(Ⅱ)現(xiàn)按照分層抽樣從認為共享產品增多對生活無益的人員中隨機抽取人,再從人中隨機抽取人贈送超市購物券作為答謝,求恰有人是女性的概率.
參考公式: .
臨界值表:
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【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調查,為此將他們隨機編號為,,,,分組后某組抽到的號碼為41.抽到的人中,編號落入區(qū)間 的人數為( )
A. 10 B. C. 12 D. 13
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數方程為 (為參數)
寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設曲線經過伸縮變換后得到曲線,設為上任意一點,
求的最小值,并求相應的點的坐標.
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