Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在上R恒有f′(x)＜

1

2

，則不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為（　　）

A．（1，+∞）

B．（-∞，1）

C．（-1，1）

D．（-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

f(x)＜

x

2

+

1

2

可化為f（x）-

x

2

-

1

2

＜0，
令g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，則g′（x）=f′（x）-

1

2

，
因?yàn)?span mathtag="math" >f′(x)＜

1

2

，所以g′（x）＜0，所以g（x）在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=0，即f（x）＜

x

2

+

1

2

．
所以不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為（1，+∞）．
故選A．