Question

已知f（n）=cos

nπ

4

（n∈N^*），則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=

 

．

Answer 1

分析：由已知f（n）=cos

nπ

4

（n∈N^*）的解析式可以知道該函數(shù)是周期函數(shù)，所以可以先取一些函數(shù)值找起規(guī)律即可．

解答：解：當(dāng)n-1時，f（1）=cos

π

4

=

2

2

，當(dāng)n=2時，f（2）=cos

2π

4

=cos

π

2

=0，當(dāng)n=3時，f(3)=cos

3π

4

=-

2

2

，當(dāng)n=4時，f(4)=cos

4π

4

=cosπ=-1，
當(dāng)n=5時，f（5）=cos

5π

4

=cos(π+

π

4

)=-

2

2

，當(dāng)n=6時，f（6）=cos

6π

4

=cos(π+

2π

4

)=0，當(dāng)n=7時，f（7）=cos

7π

4

=cos(π+

3π

4

)=

2

2

，
當(dāng)n=8時，f（8）=cos

8π

4

=cos2π=1，當(dāng)n=9時，f（9）=cos 

9π

4

=cos(2π+

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

，…由以上數(shù)值出現(xiàn)的規(guī)律可以知道，此函數(shù)的一個周期為T=8，
利用函數(shù)的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+…f（8）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=f（1）+F（2）+f（3）+f（4）=

2

2

+0+(-

2

2

)+(-1)=-1．
故答案為：-1．

點評：此題考查了求函數(shù)解析式求函數(shù)值，并利用觀察法得到函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行對于很多項函數(shù)值的求解．