【題目】如圖，在四棱錐中，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)利用勾股定理可得與即可證明平面.

(2)根據(jù)垂直關(guān)系可以建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,再利用空間向量的方法分別求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用二面角的夾角公式求解即可.

（1）因?yàn)?/span>,所以,同理可得.

因?yàn)?/span>,所以平面.

（2）因?yàn)?/span>,所以、、兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?/span>,所以,,,,

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,

因?yàn)?/span>,,所以,

所以,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

由,得,

取,得.

取的中點(diǎn),連接,易證平面,

則平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為,

由圖知,所以,

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù),對(duì)任意,恒成立.

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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【題目】我們知道，目前最常見(jiàn)的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字)，其相對(duì)兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個(gè)“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個(gè)數(shù)之一，而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請(qǐng)問(wèn)：你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能，請(qǐng)寫出你的設(shè)計(jì)方案；若不能，寫出理由.

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【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥AE

（2）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D－AE－B的大小.

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【題目】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗癌藥物，服用后需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果總陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性的概率為．

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽(yáng)性，若采取遂份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率．

（2）現(xiàn)取其中的份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)的方式，樣本簡(jiǎn)要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；

（ⅰ）若，試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，

（ⅱ）若，采用混合檢驗(yàn)的方式需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望少，求的最大值（，，，，，）

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【題目】已知拋物線與圓相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）求拋物線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)，作拋物線的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①面積的最小值為4；

②以為直徑的圓與x軸相切；

③記，，的斜率分別為，，，則；

④過(guò)焦點(diǎn)F作y軸的垂線與直線，分別交于點(diǎn)M，N，則以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).

A.1B.2C.3D.4

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⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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