Question

在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m時(shí)P_i＞P_j（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱P_i與P_j構(gòu)成一個(gè)逆序．一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列（n+1）n（n-1）…321的逆序數(shù)為a_n，如排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并寫出a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）令，證明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₂=3，排列4321的逆序數(shù)a₃=6得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，找出規(guī)律得到a_n即可；
（Ⅱ）利用基本不等式的到b₁+b₂+…+b_n＞2n；根據(jù)，…，列舉出各項(xiàng)得到b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，即得證．
解答：解：（Ⅰ）由排列21的逆序數(shù)a₁=1，排列321的逆序數(shù)a₂=3，排列4321的逆序數(shù)a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=；
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214210172418528/SYS201310232142101724185019_DA/2.png">，…，
所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214210172418528/SYS201310232142101724185019_DA/3.png">，…，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（）+（）+…+（）]=．
綜上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用數(shù)列求和的方法證明不等式成立，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值．