Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A(1，

3

2

)到F1，F2兩點(diǎn)的距離之和等于4．
（1）求出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，

3

2

）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，若OM⊥ON，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，可求a，利用點(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，可求b，從而求出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+

3

2

，代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即向量知識(shí)，建立方程，即可求得直線MN的方程．

解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，
由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，∴

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，∴b²=3，∴c²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，F1(-1，0)，F2(1，0)．…（6分）
（2）直線MN不與x軸垂直，設(shè)直線MN方程為y=kx+

3

2

，
代入橢圓C的方程得（3+4k²）x²+12kx-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

12k

3+4k2

，x₁x₂=-

3

3+4k2

，且△＞0成立．
又

OM

•ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（ kx₁+

3

2

）（kx₂+

3

2

）=-

3(1+k2)

3+4k2

-

18k2

3+4k2

+

9

4

=0，
∴16k²=5，k=±

5

4

，
∴MN方程為y=±

5

4

x+

3

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何的基本思想方法，要求學(xué)生能正確分析問(wèn)題，尋找較好的解題方向，同時(shí)兼顧考查算理和邏輯的能力，數(shù)形結(jié)合能力．