Question

過點(diǎn)P₀（1，0）作曲線C：y=x³（x∈（0，+∞））的切線，切點(diǎn)為Q₁，過Q₁作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P₁，又過P₁作曲線C的，切點(diǎn)為Q₂，過Q₂作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)P₂，…，依次下去得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，Q₃，…，設(shè)點(diǎn)Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求和

n

i=1

i

ai

；
（3）求證：an＞1+

n

2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由曲線C：y=x³，求導(dǎo)得切線斜率，切點(diǎn)Q_n的坐標(biāo)（a_n，a_n³），得切線方程，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得關(guān)于數(shù)列{a_n}項(xiàng)的關(guān)系式，變形得出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把每一項(xiàng)的分子用錯(cuò)位相減法都化為1，然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解．
（3）法1，把

3

2

分解為1+

1

2

后用二項(xiàng)式定理，取前兩項(xiàng)即可；
法2，用數(shù)學(xué)歸納法：第一步，當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立；第二步，假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．

解答：解：（1）∵y=x³，∴y′=3x²，設(shè)Q_n的坐標(biāo)為（a_n，a_n³），
則切線方程為y-a_n³=3a_n²（x-a_n），
切點(diǎn)為Q₁時(shí)，過點(diǎn)P₀（1，0），
即：0-a₁³=3a₁²（1-a₁），
依題意a₁＞0．所以a1=

3

2

．（2分）
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），
即：0-a_n³=3a_n²（a_n-1-a_n），
依題意a_n＞0，所以an=

3

2

an-1(n＞1)．（3分）
所以數(shù)列a_n是首項(xiàng)為

3

2

，
公比為

3

2

的等比數(shù)列．所以an=(

3

2

)n．（4分）
（2）記S_n=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，
因?yàn)?span id="ri1jayh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

an

=

2

3

•

1

an-1

，
所以

2

3

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

．（5分）
兩式相減得：

1

3

Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1．（7分）
∴Sn=

n

i=1

i

ai

=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-2(n+3)(

2

3

)n．（9分）
（3）①證法1：an=(1+

1

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

) +

C

2 n

(

1

2

)2+…+

C

n n

(

1

2

)n
＞

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)=1+

n

2

(n≥2)．（14分）
②證法2：當(dāng)n=2時(shí)，a2=(

3

2

)2=

9

4

=1+

5

4

＞1+

2

2

．（10分）
假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak＞1+

k

2

，
則ak+1=

3

2

ak＞

3

2

(1+

k

2

)=1+

1

2

+

3

2

•

k

2

＞1+

1

2

+

k

2

=1+

k+1

2

．
即n=k+1時(shí)．ak+1＞1+

k+1

2

．（13分）
綜上，an＞1+

n

2

，（n≥2，n∈N^*）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式和數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及邏輯推理，抽象概括能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，此題有點(diǎn)難度，需要同學(xué)們掌握．用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，用時(shí)要觀察項(xiàng)的特征，是否是等差數(shù)列的項(xiàng)與等比數(shù)列的項(xiàng)的乘積．