Question

設(shè)，利用三角變換，估計(jì)f_k（x）在k=l，2，3時(shí)的取值情況，對k∈N^*時(shí)推測f_k（x）的取值范圍是    （結(jié)果用k表示）．

Answer 1

【答案】分析：可求得k=l，2，3時(shí)f_k（x）的取值范圍，利用歸納法可求得k∈N*時(shí)f_k（x）的取值范圍．
解答：解：k=1，f₁（x）=sin²x+cos²x=1，
k=2，f₂（x）=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²x•cos²x
=（1-sin²2x）∈[，1]，
k=3，f₃（x）=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（（sin²x+cos²x）²-3sin²x•cos²x）
=（1-sin²2x）∈[，1]，
…
∴k∈N^*時(shí)f_k（x）的取值范圍是≤f_k（x）≤1．
故答案為：≤f_k（x）≤1．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查綜合分析與應(yīng)用的能力，屬于難題．