Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）．求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的右焦點與右頂點易知其標準方程中的c、a，進而求得b，則雙曲線標準方程即得；
（2）首先把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，然后消y得x的方程，由于直線與雙曲線恒有兩個不同的交點，則關(guān)于x的方程必為一元二次方程且判別式大于零，由此求出k的一個取值范圍；再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用k的代數(shù)式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，進而把條件轉(zhuǎn)化為k的不等式，又求出k的一個取值范圍，最后求k的交集即可．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0）．
由已知得．
故雙曲線C的方程為．
（2）將．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
即．①
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則，
而=．
于是．②
由①、②得．
故k的取值范圍為．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質(zhì)以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強，字母運算能力是一大考驗．