Question

（本小題滿分12分）如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，為的中點(diǎn),面．
(Ⅰ)求的長；
(Ⅱ)求證：面面；
(Ⅲ)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接


則為梯形的中位線，
又,所以
所以四點(diǎn)共面……………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184513353264.gif" style="vertical-align:middle;" />面，且面面
所以
所以四邊形為平行四邊形，
所以……………4分
（Ⅱ）由題意可知平面面；
又且平面
所以面
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823184513931325.gif" style="vertical-align:middle;" />   所以面
又面，所以面面；……………6分
（Ⅲ）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系
 ……7分
設(shè)為的中點(diǎn)，則
易證：平面
平面的法向量為……………8分
設(shè)平面的法向量為，
由得 所以……………10分
所以，……………11分
所以平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值為．            ……12分

略