Question

（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點(diǎn).

（1）證明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大�。�

Answer 1

(1)見(jiàn)解析(2)

解析試題分析：(1)證明面面垂直幾何法就要證線(xiàn)面垂直,要證線(xiàn)面垂直就要證線(xiàn)線(xiàn)垂直;線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直之間相互轉(zhuǎn)化. 由題意知從點(diǎn)出發(fā)的三條件直線(xiàn)兩兩垂直,從而,又在平面內(nèi),所以可證得平面ABC平面ADC.證明面面垂直向量法可證法向量垂直,由題意知從點(diǎn)出發(fā)的三條件直線(xiàn)兩兩垂直,可以建立空間直角坐標(biāo)系.
(2)求二面角可用兩種向量法(面向量和法向量)或幾何法,面向量法即在兩個(gè)半平面內(nèi)分別從頂點(diǎn)出發(fā)與棱垂直的兩個(gè)向量所成的角.幾何法(三垂線(xiàn)法)重點(diǎn)是找到二面角的平面角,①在幾何體內(nèi)找第三個(gè)平面與二面角的兩個(gè)半平都垂直,交線(xiàn)所成角即為平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三個(gè)平面與二面角的其中一個(gè)半平垂直.②與另外一個(gè)半交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)③過(guò)點(diǎn)作棱的垂線(xiàn)④連所得到的為二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判斷所求出的是二面角還是其補(bǔ)角,所以盡量不用它.
試題解析：
（1） 
又     （4分）
又         （6分）

（2）作CG^BD于點(diǎn)G，作GH^BM于點(diǎn)HG，連接CH.   （8分）
 
又 
又
又


所以ÐCHG為二面角的平面角.      （10分）
在Rt△BCD中，
CD=BD=，CG=CD，BG=BC
在Rt△BDM中，HG==
在Rt△CHG中，tanÐCHG=
所以即二面角C-BM-D的大小為60°.     （14分）
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線(xiàn)與平面垂直的判定；平面與平面垂直的判定．