【題目】(本小題滿分12分)設拋物線的頂點在坐標原點,焦點軸正半軸上,過點的直線交拋物線于兩點,線段的長是,的中點到軸的距離是

(1)求拋物線的標準方程;

(2)在拋物線上是否存在不與原點重合的點,使得過點的直線交拋物線于另一點,滿足,且直線與拋物線在點處的切線垂直?并請說明理由.

【答案】1;(2)存在點.

【解析】試題分析:(1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關鍵是判斷焦點位置,開口方向,在方程的類型已經確定的前提下,由于標準方程只有一個參數(shù),只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程;(2)在解決與拋物線性質有關的問題時,要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題,特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此;(3)解決直線和拋物線的綜合問題時注意:第一步:根據(jù)題意設直線方程,有的題設條件已知點,而斜率未知;有的題設條件已知斜率,點不定,可由點斜式設直線方程.第二步:聯(lián)立方程:把所設直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程.第三步:求解判別式:計算一元二次方程根.第四步:寫出根與系數(shù)的關系.第五步:根據(jù)題設條件求解問題中結論.

試題解析:(1)設拋物線的方程是,,

由拋物線定義可知2

中點到軸的距離為3,∴p2,

所以拋物線的標準方程是. 4

(2),則處的切線方程是,

直線代入6

,所以8

10

,得,所以,

存在點. 12

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A.57.2,3.6
B.57.2,56.4
C.62.8,63.6
D.62.8,3.6

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(Ⅱ)因為學習專業(yè)的原因,體育生常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉,藝術生則很少進行系統(tǒng)的身體鍛煉,若從第一組和第二組的學生中隨機抽取一名,該學生是體育生的概率為0.8,請將下面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.5%的把握認為心率小于60次/分與常年進行系統(tǒng)的身體鍛煉有關?說明你的理由.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式: ,其中

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合計

體育生

20

藝術生

30

合計

50

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