Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax－bx²．

(1)當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2；

(2)當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2；

(3)當(dāng)0＜b≤1時(shí)，討論：對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要條件．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)證明：依題設(shè)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1， 　　∵f(x)＝－b(x－)2＋， 　　∴f()＝≤1． 　　∵a＞0，b＞0，∴a≤2 　　(2)證明：必要性：對(duì)任意x∈[0，1]， 　　|f(x)|≤1－1≤f(x)， 　　據(jù)此可以推出－1≤f(1)， 　　即a－b≥－1．∴a≥b－1． 　　對(duì)任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因?yàn)閎＞1，可以推出f()≤1， 　　即a·－1≤1．∴a≤2．∴b－1≤a≤2． 　　充分性：因?yàn)閎＞1，a≥b－1， 　　對(duì)任意x∈[0，1]，可以推出 　　ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1， 　　即ax－bx2≥－1． 　　因?yàn)閎＞1，a≤2，對(duì)任意x∈[0，1]，可以推出 　　ax－bx2≤2x－bx2≤1， 　　即ax－bx2≤1．∴－1≤f(x)≤1． 　　綜上，當(dāng)b＞1時(shí)，對(duì)任意x∈[0，1]|f(x)|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； 　　(3)解：因?yàn)閍＞0，0＜b≤1時(shí)，對(duì)任意x∈[0，1] 　　有由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]，得 　　|f()|＝|f()－f(0)|＜．② 　　①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在． 　　評(píng)析　　本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．