Question

設(shè)函數(shù)，、是關(guān)于的方程的兩根，且，則下列說(shuō)法正確的是 （請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.

①的取值范圍是；

②；

③隨的增大而減小；

④.

 

Answer 1

②③④

【解析】試題分析：y＝kx－lnx的零點(diǎn)，就是kx＝lnx的根

記f（x）＝kx，g（x）＝lnx，它們的圖象如圖所示

當(dāng)他們有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，必有k＞0，且0＜x1＜x2.

y'＝k－其中k＞0，x＞0

可知當(dāng)0＜x＜時(shí)，y'＜0，而x＞時(shí)，y'＞0

所以y＝kx－lnx在x＝處取得極小值ymin＝1－ln

要使得y有兩個(gè)零點(diǎn)，必有1－ln＜0，解得0＜k＜，

此時(shí)，y有兩個(gè)零點(diǎn)，于是①錯(cuò)誤

當(dāng)k＝時(shí)，函數(shù)y只有一個(gè)零點(diǎn)x＝e

于是當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)必定在e的異側(cè)

即x1＜e，x2＞e，而x1＞1，故x1x2＞e，②正確；

當(dāng)k由小變大時(shí)，x1逐漸增大，而x2逐漸減小，故逐漸減小，③正確

記h（x）＝，表示g（x）＝lnx上的動(dòng)點(diǎn)（x，lnx）與定點(diǎn)（1，0）連線的斜率

由于g（x）＝lnx是凸函數(shù)，于是h（x）是減函數(shù)，④正確

（④也可以用h（x）的導(dǎo)函數(shù)證明）

正確答案為②③④.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題