Question

（2006•崇文區(qū)二模）在盒子里有大小相同，僅顏色不同的小球共10個，其中白球5 個，紅球3個，黃球2個．現(xiàn)從中任取出一球確定顏色后再放回盒子里，最多取3次，取出黃球則不再取球．求：
（Ⅰ）最多取兩次就結(jié)束的概率；
（Ⅱ）若取到3次，正好取到2個紅球的概率；
（Ⅲ）取球次數(shù)的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設取球次數(shù)為ξ₁，最多取兩次結(jié)束包括取一次、取兩次結(jié)束，則ξ₁=1，2，分別求出相應的概率再相加可求；
（Ⅱ）（Ⅱ）由題意知可以如下取球：白紅紅、紅白紅、紅紅白、紅紅黃四種情況，求出各種情況下的概率再求和；
（Ⅲ）設取球次數(shù)為ξ，則ξ=1，2，3，分別表示“第一次取得黃球”，“第一次沒取到第二次取到黃球”，“前2次沒取到黃球”，分別求出相應概率，可得分布列，由期望公式可求期望值；

解答：解：（Ⅰ）設取球次數(shù)為ξ₁，則ξ₁=1，2，
P(ξ1=1)=

C 1 2

C 1 10

=

1

5

，P(ξ1=2)=

C 1 8

C 1 10

×

C 1 2

C 1 10

=

4

5

×

1

5

=

4

25

．
所以最多取兩次的概率P=

1

5

+

4

25

=

9

25

．
（Ⅱ）由題意知可以如下取球：白紅紅、紅白紅、紅紅白、紅紅黃四種情況，
所以恰有兩次取到紅球的概率為P=

5

10

×

3

10

×

3

10

×3+

3

10

×

3

10

×

2

10

=

153

1000

．
（Ⅲ）設取球次數(shù)為ξ，
則 P(ξ=1)=

2

10

=

1

5

，P(ξ=2)=

8

10

×

2

10

=

4

25

，P(ξ=3)=

8

10

×

8

10

×(

2

10

+

8

10

)=

16

25

，
則分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

取球次數(shù)的數(shù)學期望為Eξ=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及期望，理解相關概念及計算公式是解決問題的基礎．