Question

已知函數f（x）=x²，在[-1，1]上是減函數．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）求出函數的導數，推出g（x），通過g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉化為λ≥-2sin1，求λ的取值范圍；
解答：解：（1）∵f（x）=x²，∴f′（x）=2x，∴f′（1）=2，∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）由題意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因g（x）在[-1，1]上單調遞減，所以g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．（3分）
因g（x）在[-1，1]上單調遞減，所以[g（x）]max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立
所以λ≥-2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故-2sin1≤λ≤-1
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、考查函數導數在解決恒成立問題的應用，注意轉化思想的應用，恒成立的應用，是難度較大的題目，�？碱}型．