Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=，下列結(jié)論正確的是    ．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1）使得方程|f（x）|=m有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；
③?k∈（1，+?），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)；
④?x₁，x₂，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，依次分析命題：將-x代替x求出f（-x），判斷出 ①對(duì)；通過分離參數(shù)，判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性及值域判斷出②對(duì)；通過另g（x）=0，分離出k，求出k的范圍，判斷出③錯(cuò)；通過對(duì)①②的推導(dǎo)過程得到f（x）在R上單調(diào)，判斷出④對(duì)，即可得答案．
解答：解：對(duì)于①，∴f（-x）+f（x）=0，故①對(duì)；
②，∵函數(shù)f（x）=（x∈R）的在R上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?1，1）
∴函數(shù)y=|f（x）|在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)閇0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故（2）正確；
對(duì)于③，令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=≤1，所以當(dāng)k∈（1，+?），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上無零點(diǎn)，故③錯(cuò)．
對(duì)于④，由①知f（x）是奇函數(shù)，由②的推導(dǎo)知，f（x）在R上單調(diào)遞增，所以?x₁，x₂，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）
故④對(duì)．
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)的處理方法常利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理．