Question

某村子的正西是一片山區(qū)．山腳下A處已建一處采石場，村子的北邊有一池塘，南邊有一樹林，在B處是個(gè)石粉廠，在采石場采到的石料由公路ACEDB運(yùn)輸?shù)绞�粉廠，如圖所示．已知A，C，D，B在一條直線上，AC=2km，CE=2km，ED=3km，DB=2km，∠CED=120°．
（I）求CD的長．
（II）在運(yùn)作了一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)在運(yùn)輸車經(jīng)過公路CE，ED時(shí)對池塘有污染..需要另建公路ACMNB．為了不破壞樹林，必須要求CM=3km，∠CMN=135°，∠MNB=150°MN∥AC．求建這條新的公路中MN的長．

Answer 1

分析：（I）在△CED中，利用余弦定理根據(jù)CE，BD和∠CED求得CD．
（II）過D作DF∥BN交NM與F，MG∥BN，交CD與G，則∠FDC=∠MGC=30°，∠MCG=45°，進(jìn)而求得∠CMG，進(jìn)而在△CMG中，由正弦定理求得CG，則GD可求，最后把MF和FN相加即可．

解答：解：（I）在△CED中，由余弦定理可知
CD²=4+9-2×2×3×（-

1

2

）=19
∴CD=

19

km
（II）過D作DF∥BN交NM與F，MG∥BN，交CD與G，則∠FDC=∠MGC=30°
∠MCG=45°，
∴∠CMG=180°-30°-45°=105°
在△CMG中，由正弦定理可知

CG

sin105°

=

CM

sin30°

∴CG=

3 2 (1+ 3 )

2

∴MF=DG=

19

-

3 2 (1+ 3 )

2

∵FN=BD=2
∴MN=

19

-

3 2 (1+ 3 )

2

+2km．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．