Question

通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時間變化的曲線接近于函數y=Asin（ωx+φ）+b的圖象.2013年1月下旬荊門地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現在14時，最高溫度為14°C；最低溫度出現在凌晨2時，最低溫度為零下2°C．
（Ⅰ）請推理荊門地區(qū)該時段的溫度函數y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24））的表達式；
（Ⅱ）29日上午9時某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10°C，教室就要開空調，請問屆時學校后勤應該送電嗎？

Answer 1

分析：（I）根據函數最大、最小值的和與差，算出A=8且b=6，由函數的周期為24算出ω=

π

12

，再根據當x=2時函數有最小值，算出φ=-

2π

3

即可得到所求溫度函數的表達式；
（II）算出函數當x=9時的函數值f（9），利用特殊三角函數值算出f（9）＜10，得到此時滿足開空調的條件，所以應該開空調．

解答：解：（I）∵最高溫度為14°C，最低溫度為零下2°C．
∴A=

1

2

[14-(-2)]=8，b=

1

2

[14+(-2)]=6，
∵函數的周期T=24，∴ω=

2π

24

=

π

12

由

π

12

•2+φ=-

π

2

+2kπ，|φ|＜π，可得φ=-

2π

3

（5分）
∴函數表達式為y=8sin(

π

12

x-

2π

3

)+6（6分）；
（II）當x=9時，y=8sin(

π

12

•9-

2π

3

)+6=8sin

π

12

+6（8分）
∵sin

π

12

＜sin

π

6

，∴y=8sin

π

12

+6＜8sin

π

6

+6=10，（11分）     
溫度低于10°C，滿足開空調的條件，所以應該開空調．（12分）

點評：本題給出實際應用問題，求函數表達式并確定某個時刻能否開空調．著重考查了三角函數的圖象與性質和三角函數在實際生活中的應用等知識，屬于中檔題．