Question

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA⊥面ABCD．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

（1）證明：連接AF，
∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，F(xiàn)是線段BC的中點，
∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，
∴∠DFC=45°，同理可得∠AFB=45°，
∴AF⊥FD．
又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥FD，∵AF∩PA=A
∴FD⊥平面PAF，∴PF⊥FD．（6分）

（2）在AP上存在點G，
且AG=

1

4

AP，使得EG∥平面PFD，
證明：取AD中點I，取AI中點H，連接BI，EH，EG，GH，
∵DI

∥ .

.

BF，∴四邊形BFDI是平行四邊形，
∴BI∥FD
又∵E、H分別是AB、AI的中點，
∴EH∥BI，∴EH∥FD
而EH?平面PFD，∴EH∥平面PFD∵

AG

AP

=

AH

AD

=

1

4

，
∴GH∥PD
而GH?平面PFD，
∴HG∥平面PFD
又∵EH∩GH=H
∴平面EHG∥平面PFD
∴EG∥平面PFD
從而G為所求．