【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，得到的坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量為列出方程，即可求解.

（1）由題意，因為，，，∴，

又∴，∴，

∵側(cè)面，∴.

又∵，，平面

∴直線平面.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，，

設(shè)平面的一個法向量為

，

∵，∴，令，則，∴

設(shè)平面的一個法向量為，，，

∵，∴，令，則，∴，

，，，∴.

設(shè)二面角為，則.

∴設(shè)二面角的余弦值為.

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，∵，，

∴，∴∴

設(shè)平面的一個法向量為，

∴，得.

即，∴或，∴或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數(shù)

頻率

15

0.30

29

2

合計

1

（1）求出表中，及圖中的值；

（2）若該校高三學(xué)生人數(shù)有500人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的極小值；

（2）若對任意的實數(shù)a，函數(shù)在上總有零點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）為上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過分別作的兩條切線，相交于點(diǎn)，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：（t為參數(shù)）與曲線C：（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．

（Ⅰ）若α＝，求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為常數(shù)， ，函數(shù)， （其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求證： ；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

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