【題目】如圖，三棱柱中，側面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；

（3）假設存在點，設，根據(jù)，得到的坐標，結合平面的法向量為列出方程，即可求解.

（1）由題意，因為，，，∴，

又∴，∴，

∵側面，∴.

又∵，，平面

∴直線平面.

（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

設平面的一個法向量為

，

∵，∴，令，則，∴

設平面的一個法向量為，，，

∵，∴，令，則，∴，

，，，∴.

設二面角為，則.

∴設二面角的余弦值為.

（3）假設存在點，設，∵，，

∴，∴∴

設平面的一個法向量為，

∴，得.

即，∴或，∴或.

練習冊系列答案
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【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數(shù)

頻率

15

0.30

29

2

合計

1

（1）求出表中，及圖中的值；

（2）若該校高三學生人數(shù)有500人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．

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【題目】如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）點在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

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【題目】如圖，四棱錐中，，，，，且.

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