已知向量
a
=(sin
A+B
2
，cos
A-B
2
-
3
2
4
)，
b
=(
5
4
sin
A+B
2
，cos
A-B
2
+
3
2
4
)，其中A、B是△ABC的內(nèi)角，
a
⊥
b
．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分別是角A、B、C的對邊，當(dāng)C最大時，求
c
a
的值．
分析：（1）根據(jù)
a
⊥
b
推斷出
a
•
b
=0，利用向量的數(shù)量積運算結(jié)合二倍角公式求得tanA•tanB；
（2）由于tanA•tanB=
1
9
＞0，利用基本不等式得出當(dāng)且僅當(dāng) tanA=tanB=
1
3
時，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求
c
a
的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得
a
•
b
= (sin
A+B
2
，cos
A-B
2
-
3
2
4
)•(
5
4
sin
A+B
2
，cos
A-B
2
+
3
2
4
)=0
即
5
4
sin 2
A+B
2
+cos 2
A-B
2
-
9
8
=0，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=
1
9
．
（2）由于tanA•tanB=
1
9
＞0，且A、B是△ABC的內(nèi)角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴tanC=-tan(A+B)=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
9
8
(tanA+tanB)≤-
9
8
×2
tanA•tanB
=-
3
4

當(dāng)且僅當(dāng) tanA=tanB=
1
3
取等號．
∴c為最大邊時，有tanA=tanB=
1
3
，tanC=-
3
4
，
∴sinC=
3
5
，sinA=
1
10

由正弦定理得：
c
a
=
sinC
sinA
=
3
5
1
10
=
3
10
5
．
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡與求值，正弦定理的應(yīng)用，基本不等式的知識，是一道綜合題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，公式的熟練程度決定學(xué)生的能力的高低．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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