Question

某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動均需該系k位學(xué)生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．
（I）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m．

Answer 1

（I）因為事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立事件，所以

.

A

與

.

B

相互獨立，由于P（A）=P（B）=

C k-1n-1

C kn

=

k

n

，故P（

.

A

）=P（

.

B

）=1-

k

n

，
因此學(xué)生甲收到活動信息的概率是1-（1-

k

n

）²=

2kn-k2

n2

（II）當(dāng)k=n時，m只能取n，此時有P（X=m）=P（X=n）=1
當(dāng)k＜n時，整數(shù)m滿足k≤m≤t，其中t是2k和m中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨立、隨機(jī)地發(fā)送活動信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為（

C

kn

）²，當(dāng)X=m時，同時收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k-m，僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為

C

kn

C

2k-mk

C

m-kn-k

=

C

kn

C

m-kk

C

m-kn-k

P（X=M）=

C kn C 2k-mk C m-kn-k

(C kn )2

=

C 2k-mk C m-kn-k

C kn

當(dāng)k≤m＜t時，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）?m≤2k-

(k+1)2

n+2

假如k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t成立，則當(dāng)（k+1）²能被n+2整除時，
k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜2k+1-

(k+1)2

n+2

＜t，故P（X=M）在m=2k-

(k+1)2

n+2

和m=2k+1-

(k+1)2

n+2

處達(dá)到最大值；
當(dāng)（k+1）²不能被n+2整除時，P（X=M）在m=2k-[

(k+1)2

n+2

]處達(dá)到最大值（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)），
下面證明k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t
因為1≤k＜n，所以2k-

(k+1)2

n+2

-k=

kn-k2-1

n+2

≥

k(k+1)-k2-1

n+2

=

k-1

n+2

≥0
而2k-

(k+1)2

n+2

-n=-

(n-k+1)2

n+2

＜0，故2k-

(k+1)2

n+2

＜n，顯然2k-

(k+1)2

n+2

＜2k
因此k≤2k-

(k+1)2

n+2

＜t