命題“若過(guò)雙曲線
x2
3
-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交X軸于點(diǎn)M則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
3
．
（1）試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于橢圓C：
X2
25
+
Y2
9
=1的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．
分析：（1）關(guān)于橢圓C的類似命題是：過(guò)橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的一個(gè)焦點(diǎn)F2（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
5
2
．
證明：設(shè)直線l為：y=k（x-4），當(dāng)k=0時(shí)，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，
|AB|
|FM
=
5
2
．當(dāng)k≠0時(shí)，由
x2
25
+
y2
9
=1
y=k(x-4)
，得（25k2+9）x2-8×25k2+25（16k2-9）=0，由根的判別式和韋達(dá)定理知AB的垂直平分線方程為：y+
36k
9+25k2
=-
1
k
(x-
4×25k2
9+25k2
)，由此能夠證明
|AB|
|FM|
=
5
2
．
（2）過(guò)圓錐曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，由此知?jiǎng)t
|AB|
|FM|
為定值
2
e
．
解答：解：（1）關(guān)于橢圓C的類似命題是：
過(guò)橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的一個(gè)焦點(diǎn)F2（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
5
2
．
證明：由于l與x軸不垂直，設(shè)直線l為：y=k（x-4），
①當(dāng)k=0時(shí)，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，
|AB|
|FM
=
5
2
．
②當(dāng)k≠0時(shí)，由
x2
25
+
y2
9
=1
y=k(x-4)
，
消去y，得（25k2+9）x2-8×25k2+25（16k2-9）=0，
△=（8×25k2）2-4×25（25k2+9）（16k2-9）=4×25×92（k2+1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
AB中點(diǎn)N（x0，y0），
則x1+x2=
8×25k2
9+25k2
，
∴x0=
4×25k2
9+25k2
，y0=k(x0-4)=4k(
25k2
9+25k2
-1)=
-36k
9+25k2
，
AB的垂直平分線方程為：y+
36k
9+25k2
=-
1
k
(x-
4×25k2
9+25k2
)，
令y=0，解得x=
64k2
9+25k2
，
∴M(
64k2
9+25k2
，0)，
∴|FM|=|4-xm| =
36(1+k2)
9+25k2
，
|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=
18×5(1+k2)
9+25k2
，
∴
|AB|
|FM|
=
5
2
．
（2）過(guò)圓錐曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點(diǎn)，
線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
2
e
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列是有關(guān)直線與圓錐曲線的命題：
①過(guò)點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有2條；
②過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過(guò)點(diǎn)（3，1）作直線與雙曲線
x2
4
-y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
④過(guò)雙曲線x2-
y2
2
=1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線x2-
y2
2
=1和點(diǎn)A（1，1），過(guò)點(diǎn)A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A恰為線段PQ的中點(diǎn)．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)有
①②④
①②④
．（請(qǐng)寫出所有正確的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列四個(gè)命題：
①命題P：
x-2
x2+2x-3
≤0；則￢P命題是；
x-2
x2+2x-3
＞0；
②（1+kx2）10（k為正整數(shù)）的展開式中，x16的系數(shù)小于90，則k的值為1；
③從總體中抽取的樣本（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn）．若記
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi，則回歸直線
y
=bx+a必過(guò)點(diǎn)（
.
x
，
.
y
）；
④過(guò)雙曲線x2-
y2
4
=1的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)|AB|=8，則這樣的直線恰好有3條；其中正確的序號(hào)是
②③④
②③④
（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1與橢圓
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦點(diǎn)；
②在平面內(nèi)，設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且|PA|+|PB|=k，其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x2-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過(guò)雙曲線x2-
y2
2
=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有3條．
其中真命題的序號(hào)為
①④
①④
（寫出所有真命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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