已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為e．直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點．設(shè)．

(1)證明λ＝1－e2；

(2)確定λ的值，使得ΔPF1F2是等腰三角形．

答案：
解析：

　　解：(1)證法一：因為A、B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點．所以A、B的坐標分別是(，0)，(0，a)．由得

　　這里c＝，所以點M的坐標是(－c，)．

　　由得(，)＝λ(，a)

　　即，解得λ＝1－e2．

　　證法二：因為A、B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是(，0)，(0，a)．設(shè)M的坐標是(x0，y0)，由得(，y0)＝λ(，a)．

　　所以

　　因為點M在橢圓上，所以＝1．

　　即＝1，所以＝1．

　　e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0，

　　解得e2＝1－λ，即λ＝1－e2．

　　(2)解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角．要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|、即|PF1|＝c．

　　設(shè)點F1到l的距離為d，由|PF1|＝d＝＝c，

　　得＝e，所以e2＝．于是λ＝1－e2＝．

　　即當λ＝時，△PF1F2為等腰三角形．

　　解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|．

　　設(shè)點P的坐標(x0，y0)，則解得

　　由|PF1|＝|F1F2|

　　得[]2＋[]2＝4c2，兩邊同時除以4a2，化簡得＝e2．

　　從而e2＝．于是λ＝1－e2＝．

　　即當λ＝1－e2＝時，△PF1F2為等腰三角形．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：浙江省蒼南縣錢高、靈溪二高2011屆高三上學期第一次月考聯(lián)考文科數(shù)學試題 題型：044

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，左、右焦點分別為F1、F2，點P(2，)，點F2在線段PF1的中垂線上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l：kx＋m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β且α＋β＝π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省南京市金陵中學2011屆高三第四次模擬考試數(shù)學試題 題型：044

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，點A，F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點．

(1)若P(－1，)，PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；

(2)是否存在這樣的橢圓C，使得是常數(shù)？如果存在，求C的離心率，如果不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右準線l的方程為x＝，短軸長為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點，設(shè)直線PA1與直線QA2相交于點M（2x0，y0）．

①試用x0，y0表示點P，Q的坐標；

②求證：點M始終在一條定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右準線l的方程為x＝，短軸長為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A1，A2）兩點，設(shè)直線PA1與直線QA2相交于點M（2x0，y0）．

①試用x0，y0表示點P，Q的坐標；

②求證：點M始終在一條定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，A1、A2分別為橢圓C的左、右頂點，過右焦點F2且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點為M(，2)．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線l：x＝my＋1與橢圓C交于P、Q兩點，直線A1P與A2Q交于點S.試問：當直線l變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線的方程，并證明你的結(jié)論：若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案