Question

已知橢圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

3

，

1

2

)，且一個(gè)焦點(diǎn)為(-

3

，0)．過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程，利用橢圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

3

，

1

2

)，且一個(gè)焦點(diǎn)為(-

3

，0)，建立方程，求得幾何量，即可求得橢圓G的方程；
（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，分類討論：當(dāng)m=±1時(shí)，|AB|=

3

；當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及l(fā)與圓x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

3

，

1

2

)，且一個(gè)焦點(diǎn)為(-

3

，0)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴橢圓G的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由題意知，|m|≥1
當(dāng)m=±1時(shí)，切線l的方程為x=±1，此時(shí)|AB|=

3

；
當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)l為y=k（x-m），代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l與圓x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2（當(dāng)且僅當(dāng)m=±

3

時(shí)取等號(hào)）
∴|AB|的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．