Question

在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線(xiàn)段為垂足．

(1)求線(xiàn)段中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q(一2，0)作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)(，0)，且以言為方向向量的直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，問(wèn)是否存在這樣的直線(xiàn)l,使得四邊形OANB為矩形?若存在，求出直線(xiàn)Z的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)M(x,y)是所求曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，P（）是方程的圓上的任意一點(diǎn)，則.

         則有：，即，代入得，

         軌跡C 的方程為.

 （2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn).

         所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+2),與橢圓交于兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為.

         由得（4＋）.

         由∴.

         即

        

，即,∴四邊形OANB為平行四邊形

假設(shè)存在矩形OANB,則,即，

即，

于是有     得.

設(shè)N（），由得，

即點(diǎn)N在直線(xiàn)x＝－上. ∴存在直線(xiàn)l使四邊形OANB為矩形，

直線(xiàn)l的方程為.