Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1 : 3．設(shè)A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范圍．

Answer 1

(1)
(2)的取值范圍為[，）．

解析試題分析：(Ⅰ) 設(shè)F₂(c，0)，則
＝，
所以c＝1．
因?yàn)殡x心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                  5分

(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－，此時(shí)P(，0)、Q(,0)
．
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由  得
(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，
則－1＋4mk＝0，
故k＝．
此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為
．
即  ．
聯(lián)立 消去y，整理得
．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂



．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則
．
又1＜t＜29，所以
．
綜上，的取值范圍為[，）．     13分
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)以及直線于橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)來得到其方程，然后結(jié)合聯(lián)立方程組來得到向量的坐標(biāo)關(guān)系式，進(jìn)而通過向量的數(shù)量積來得到結(jié)論，屬于中檔題。