如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且
|CD|
|ST|
=2
6
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求
PE
•
PF
的最大值．
分析：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，|ST|=2•
b2
a
，利用
|CD|
|ST|
=2
6
可得：2a2=3b4，結(jié)合a2=b2+4，即可求得橢圓M的方程；
（2）方法1：設(shè)圓N：x2+（y-2）2=1的圓心為N，利用向量的運(yùn)算，表示出
PE
•
PF
，從而求
PE
•
PF
的最大值轉(zhuǎn)化為求
NP
2的最大值，用坐標(biāo)表示出
NP
2，即可求得
PE
•
PF
的最大值；
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），P（x0，y0），用坐標(biāo)表示出
PE
•
PF
，利用配方法，即可求得結(jié)論；
方法3：分類討論：直線EF的斜率存在與不垂直，EF的方程與圓的方程聯(lián)立，用坐標(biāo)表示出
PE
•
PF
，利用配方法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），|CD|=8，|ST|=2•
b2
a
，
由
|CD|
|ST|
=2
6
可得：2a2=3b4，又a2=b2+4，則3b4-2b2-8=0，解得：b2=2，a2=4，
所以橢圓M的方程為M：
x2
6
+
y2
2
=1．…（4分）
（2）方法1：設(shè)圓N：x2+（y-2）2=1的圓心為N，
則
PE
•
PF
=(
NE
-
NP
)•(
NF
-
NP
)=(-
NF
-
NP
)•(
NF
-
NP
)=
NP
2-
NF
2=
NP
2-1．
從而求
PE
•
PF
的最大值轉(zhuǎn)化為求
NP
2的最大值．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x0，y0），所以
x02
6
+
y02
2
=1，即x02=6-3y02．…（8分）
因?yàn)辄c(diǎn)N（0，2），所以
NP
2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（10分）
因?yàn)?span id="txaxo3l" class="MathJye">y0∈[-
2
，
2
]，所以當(dāng)y0=-1時(shí)，
NP
2取得最大值12． 
所以
PE
•
PF
的最大值為11．…（12分）
方法2：設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），P（x0，y0），因?yàn)镋，F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），所以
x2=-x1
y2=4-y1.

所以
PE
•
PF
=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=（x1-x0）（-x1-x0）+（y1-y0）（4-y1-y0）
=
x
2
0
-
x
2
1
+
y
2
0
-
y
2
1
+4y1-4y0=
x
2
0
+
y
2
0
-4y0-(
x
2
1
+
y
2
1
-4y1)．…（6分）
因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以
x
2
1
+(y1-2)2=1，即
x
2
1
+
y
2
1
-4y1=-3．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以
x
2
0
6
+
y
2
0
2
=1，即
x
2
0
=6-3
y
2
0
．…（10分）
所以
PE
•
PF
=-2
y
2
0
-4y0+9=-2(y0+1)2+11．
因?yàn)?span id="foe1unl" class="MathJye">y0∈[-
2
 ， 
2
]，所以當(dāng)y0=-1時(shí)，(
PE
•
PF
)max=11．…（12分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設(shè)EF的方程為y=kx+2，
由
y=kx+2
x2+(y-2)2=1
，解得x=±
1
k2+1
．…（6分）
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），所以
x02
6
+
y02
2
=1，即x02=6-3y02．
所以
PE
=(
1
k2+1
-x0，
k
k2+1
+2-y0)，
PF
=(-
1
k2+1
-x0，-
k
k2+1
+2-y0)…（8分）
所以
PE
•
PF
=x02-
1
k2+1
+(2-y0)2-
k2
k2+1
=x02+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11．…（10分）
因?yàn)?span id="bbtu1fn" class="MathJye">y0∈[-
2
，
2
]，所以當(dāng)y0=-1時(shí)，
PE
•
PF
取得最大值11．
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為x=0，
由
x=0
x2+(y-2)2=1
，解得y=1或y=3．
不妨設(shè)，E（0，3），F(xiàn)（0，1）． 因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），
所以
x02
6
+
y02
2
=1，即x02=6-3y02．所以
PE
=(-x0，3-y0)，
PF
=(-x0，1-y0)．
所以
PE
•
PF
=x02+y02-4y0+3=-2(y0+1)2+11．
因?yàn)?span id="xfgyf2t" class="MathJye">y0∈[-
2
，
2
]，所以當(dāng)y0=-1時(shí)，
PE
•
PF
取得最大值11．
綜上可知，
PE
•
PF
的最大值為11．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確表示
PE
•
PF
是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A（4，m）在橢圓E上，且
AF2
•
F1F2
=0，點(diǎn)D（2，0）到直線F1A的距離DH=
18
5
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P位橢圓E上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•福建）如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
 =1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=
1
2
．過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•深圳二模）如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，經(jīng)過(guò)橢圓E的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線l與圓C：x2+(y-2b)2=
27
4
相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在圓C與橢圓E上運(yùn)動(dòng)，求|PQ|取得最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•上高縣模擬）如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S，T，而與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且
|CD|
|ST|
=2
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過(guò)m（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案