Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我們將乘積a₁?a₂?…?a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“劣數(shù)”，則在區(qū)間（1，2006）內(nèi)的所有劣數(shù)之和記為M，則M=（　　）

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：由題意，a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我們將乘積整數(shù)的數(shù)n叫做“劣數(shù)”，運算得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），可得n+2必為2的整數(shù)次冪，由此計算出區(qū)間（1，2006）內(nèi)所有的n，求M

解答：解：由對數(shù)的運算性質(zhì)及a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），令log₂（n+2）=k，k∈z
故n=2^k-2，k∈z
又n∈N₊，故最小的n為2，又2¹¹-2＞2006，2¹⁰-2＜2006故n的最小值是10
由此知，符合條件的劣數(shù)組成的數(shù)列為{2^r-2}，r=2，…，10
故M=

4×(1-29)

1-2

-2×9=2026
故選C

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì)，理解題意，由對數(shù)的性質(zhì)判斷出劣數(shù)的特征，再由數(shù)列的求和公式求出所有劣數(shù)的和，本題有一定的綜合性，由新定義得出劣數(shù)的形式是解本題的突破點，判斷出最大的劣數(shù)是本題的難點