Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，點E在線段PB上，且PE=

1

3

PB．
（Ⅰ）求證：AP⊥BM
（Ⅱ）求二面角E-AM-P的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BM⊥AM，從而得到BM⊥平面APM，由此能證明AP⊥BM．
（Ⅱ）取AM的中點O，AB的中點N，則OA，ON，OP兩兩垂直，以O為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AM-P的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD為長方形，AD=1，AB=2，M為DC的中點，
∴AM=

2

，BM=

2

，AB²=AM²+BM²，∴BM⊥AM，
又∵平面APM⊥平面ABCM，平面APM∩平面ABCM=AM，BM?平面ADM，
∴BM⊥平面APM，
又∵AP?平面APM，∴AP⊥BM．
（Ⅱ）解：取AM的中點O，AB的中點N，則OA，ON，OP兩兩垂直，
以O為原點建立空間直角坐標系，
則A（

2

2

，0，0），B（-

2

2

，

2

，0），
M（-

2

2

，0，0），P（0，0，

2

2

），N（0，

2

2

，0），
設E（x，y，z），由

PE

=

1

3

PB

，得（x，y，z-

2

2

）=

1

3

(-

2

2

，

2

，-

2

2

)，
∴E（-

2

6

，

2

3

，

2

3

），
由題意

ON

為平面APM的一個法向量，令

ON

=

n

=(0，

2

2

，0)，
設平面AME的一個法向量

m

=(a，b，c)，

AM

=(-

2

，0，0)，

AE

=（-

2 2

3

，

2

3

，

2

3

），
則

m • AM =- 2 a=0 m • AE =- 2 2 3 a+ 2 3 b+ 2 3 c=0

，
取b=1，tj

m

=(0，1，-1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

2

，
∴二面角E-AM-P的大小為

π

4

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．