Question

13．己知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{12-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示焦點在x軸上的橢圓；命題q：點（m，3）在圓（x-10）²+（y-1）²=13內(nèi)．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真命題的等價條件，然后根據(jù)若p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到命題p，q為一真一假，然后求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{12-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{12-m＞0}\\{m-4＞0}\\{12-m＞m-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜12}\\{m＞4}\\{m＜8}\end{array}\right.$，即4＜m＜8．即p：4＜m＜8．
若（m，3）在圓（x-10）²+（y-1）²=13，則$\sqrt{（m-10）^{2}+（3-1）^{2}}$＜$\sqrt{13}$，
即（m-10）²＜9，即-3＜m-10＜3，所以7＜m＜13．即q：7＜m＜13．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到命題p，q為一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{4＜m＜8}\\{m≥13或m≤7}\end{array}\right.$，解得4＜m≤7．
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥8或m≤4}\\{7＜m＜13}\end{array}\right.$，解得8≤m＜13．
綜上實數(shù)m的取值范圍是4＜m≤7或8≤m＜13．

點評 本題主要考查復(fù)合命題真假判斷，根據(jù)條件求出命題p，q為真命題時的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．