Question

已知函數(shù)f(x)=x+

t

x

(t＞0)，過點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[2，n+

64

n

]內(nèi)，總存在m+1個數(shù)a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：解此題的第一個突破點(diǎn)是第一（1）用導(dǎo)數(shù)的符號為正求單調(diào)區(qū)間，（2）求過切點(diǎn)的切線方程，找出兩切點(diǎn)關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可，（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題．

解答：解：（1）當(dāng)t=2時，f(x)=x+

2

x

，f′(x)=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＞0解得x＞

2

，或x＜-

2

．
∴函數(shù)f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

2

)，(

2

，+∞)
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵f′(x)=1-

t

x2

，∴切線PM的方程為：y-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x 2 1

)(x-x1)．
又∵切線PM過點(diǎn)P（1，0），∴有0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x 2 1

)(1-x1)．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點(diǎn)（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t.

  (*)
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2 )2]

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為g（t）=

20t2+20t

（t＞0）
（3）易知g（t）在區(qū)間[2，n+

64

n

]上為增函數(shù)，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，m+1）．
則m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）＜g（a_m+1）對一切正整數(shù)n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（n+

64

n

）對一切的正整數(shù)n恒成立m

20×22+20×2

＜

20(n+ 64 n )2+20(n+ 64 n )

，
即m＜

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

對一切的正整數(shù)n恒成立
∵n+

64

n

≥16，
∴

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

≥

1 6 [162+16]

=

136 3

．
∴m＜

136 3

．
由于m為正整數(shù)，∴m≤6．又當(dāng)m=6時，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，對所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．

點(diǎn)評：本題第一問比較基礎(chǔ)，二三問比較復(fù)雜，考切線問題，和數(shù)列問題，又滲透了恒成立思想，此題比較新，雖是壓軸題但并不像以往壓軸題的思路，有突破有創(chuàng)新，值得做．