Question

已知函數，其中且m為常數．

（1）試判斷當時函數在區(qū)間上的單調性，并證明；

（2）設函數在處取得極值，求的值，并討論函數的單調性．

 

Answer 1

（1）在區(qū)間上為增函數，證明見解析；（2），在上單調遞減，在單調遞增．

【解析】

試題分析：（1）首先求導函數，然后根據區(qū)間判斷的符號即可證明；（2）利用函數的極值點是導函數的零點通過建立方程可求得的值，然后再通過判斷的符號確定單調區(qū)間．

（1）當時，，求導數得：．

∵當時，，∴ ，

∴當時函數在區(qū)間上為增函數．

（2）求導數得：．

由是的極值點得，∴．

于是，定義域為，，

顯然函數在上單調遞增，且，

因此當時，；時，，

所以在上單調遞減，在單調遞增．

考點：1、導數的幾何意義；2、導數與函數單調性的關系；3、利用導數研究函數的極值．