雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩焦點(diǎn)分別為F1和F2，若雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的點(diǎn)P，使得∠PF2F1=3∠PF1F2，則雙曲線離心率e的取值范圍是______．
設(shè)∠PF1F2=α，
∵∠PF2F1=3∠PF1F2，P在雙曲線右支（x＞a）
在三角形PF1F2中，根據(jù)正弦定理，可得
PF1
sin3α
=
PF2
sinα
，
即
PF1
3sinα-4sin3α
=
PF2
sinα

∴PF1=（3-4sin2α）PF2，
∵PF1-PF2=2a，∴（3-4sin2α）PF2-PF2=2a，
∴PF2=
a
1-2sin2α
，
由于P在P在雙曲線右支，∴PF2＞c-a，
∵
a
1-2sin2α
＞c-a，∴
c
a
＜1+
1
1-2sin2α
≤2，
∴
c
a
＜2，又
c
a
＞1，
則雙曲線離心率e的取值范圍是 1＜e＜2．
故答案為：1＜e＜2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

經(jīng)過點(diǎn)M（3，-l），且對稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

焦點(diǎn)為F（0，10），漸近線方程為4x±3y=0的雙曲線的方程是（　�。�
A．
y2
64
-
x2
36
=1		B．
x2
9
-
y2
16
=1
C．
y2
9
-
x2
16
=1		D．
x2
64
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

點(diǎn)P是雙曲線
x2
4
-y2=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x+
5
)2+y2=1和圓(x-
5
)2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在相距4k米的A、B兩地，聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差2秒，若聲速每秒k米，則爆炸地點(diǎn)P必在（　�。�
A．以A，B為焦點(diǎn)，短軸長為
3
k米的橢圓上．
B．以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2k米的雙曲線上．
C．以AB為直徑的圓上．
D．以A，B為頂點(diǎn)，虛軸長為
3
k米的雙曲線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知圓錐曲線mx2+4y2=4m的離心率e為方程2x2-5x+2=0的兩根，則滿足條件的圓錐曲線的條數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�
A．(
3
2
，+∞)		B．(1，
3
2
)		C．（2，+∞）D．（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

方程ax2+bx+c=0無實(shí)根，則雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓與雙曲線x2-
y2
3
=1有公共的焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)P（0，2）．
（1）求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與雙曲線的漸近線平行，且與橢圓相切，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案