Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+a，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=2時(shí)，則f（x）=x²-3x+2，由f（x）＞0，得x²-3x+2＞0，
令x²-3x+2=0，解得x=1，或x=2
∴原不等式的解集為（-∞，1）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＜0得（x-a）（x-1）＜0，
令（x-a）（x-1）=0，得x₁=a，x₂=1，…5 分，
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為（1，a）；…6 分，
當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為∅；…（7分），
當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式的解集為（a，1）．…（8分）．
（2）由f（x）+2x≥0即x²-ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
得a≤

x2+x

x-1

..…9 分，
令t=x-1（t＞0），
則

x2+x

x-1

=

(t+1)2+t+1

t

=t+

2

t

+3≥2

2

+3，…13 分
∴a≤2

2

+3．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，2

2

+3]…14 分