Question

【題目】如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．

（1）證明：平面PDC；

（2）已知PDAD1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得到平面；

（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得，即可得到直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：

在正方形中，，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，平面平面，

所以，

因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因?yàn)?/span>

所以平面；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，則有，

設(shè)，則有，

因?yàn)?/span>QB=，所以有

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于

所以直線與平面所成角的正弦值為.