Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ln|x|與g（x）=sin（x+ψ）（ω＞0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則在下列函數(shù)中滿足條件的周期最大的g（x）等于（　�。�

• A、sin（2πx-

  π

  2

  ）
• B、sin（

  πx

  2

  -

  π

  2

  ）
• C、sin（πx-

  π

  2

  ）
• D、sin（πx+

  π

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最大值和最小值，利用f（x）|與g（x）有兩個(gè)公共點(diǎn)，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）定義域?yàn)閤≠0
①當(dāng)x＞0時(shí)：f（x）=x²-2ln|x|=x²-2lnx，f'（x）=2x-

2

x

，
令f'（x）=0，解得x=1，
由f'（x）＜0，則0＜x＜1，
由f'（x）＞0，則x＞1，
則當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取的最小值，最小值為f（1）=1．
②當(dāng)x＜0時(shí)：f（x）=x²-2ln|x|=x²+2lnx，
則f'（x）=2x+

2

x

，
令f'（x）=0，解得x=-1，
由f'（x）＜0，則x＜-1，
由f'（x）＞0，則-1＜x＜0，
則當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，最小值為f（-1）=1．
綜合①②所述：f（x）的最小值為f（-1）=f（1）=1
∵只有2個(gè)公共點(diǎn)，
∴g（x）最大值為1
則最長(zhǎng)周期為|（-1）-1|=2，即T=

2π

ω

=2，即ω=π
則g（1）=sin（π+A）=1，
即π+A=2kπ+

π

2

，即A=2kπ-

π

2

，k∈Z
則周期最大的g（x）=sin（πx+2kπ-

π

2

）=sin（πx-

π

2

），k∈Z，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．