Question

如圖，已知幾何體的底面ABCD為正方形，AC∩DB=N，PD⊥面ABCD，EC∥PD，PD=CD=2EC=2．
（Ⅰ）以

AD

為正規(guī)方向，求該幾何體正視圖的面積．
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)AC與PE所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PBD與平面PBE是否垂直？若垂直，請(qǐng)加以證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）幾何體正視圖面積即直角梯形PDCE的面積，由AC∩DB=N，PD⊥面ABCD，EC∥PD，可得EC⊥CD．利用S=

CD•(PD+EC)

2

即可得出．
（Ⅱ）取PD中點(diǎn)F，連接FC、FA，則CF∥PE，可知：∠FCA或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AC與PE所成角，在△FCA中，利用余弦定理可得cos∠FCA=

AC2+FC2-AF2

2AC•FC

．
（III）平面PBD⊥平面PBE．取PB中點(diǎn)M，連接EM、MN，利用三角形的中位線(xiàn)定理和已知可得四邊形MECN為平行四邊形，再利用線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理可得CN⊥平面PBD，進(jìn)而得出．

解答： 解：（Ⅰ）幾何體正視圖面積即直角梯形PDCE的面積，
∵AC∩DB=N，PD⊥面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥CD．
∴S=

CD•(PD+EC)

2

=

1

2

×(1+2)×2=3．
（Ⅱ）取PD中點(diǎn)F，連接FC、FA，則CF∥PE，
∴∠FCA或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AC與PE所成角，
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，
∴AF=CF=

5

，又AC=2

2

．
∴在△FCA中，cos∠FCA=

AC2+FC2-AF2

2AC•FC

=

10

5

．
即異面直線(xiàn)AC與PE所成角的余弦值為

10

5

．
（Ⅲ）平面PBD⊥平面PBE．
證明如下：
取PB中點(diǎn)M，連接EM、MN，則MN∥PD且MN=

1

2

PD．
又EC∥PD且EC=

1

2

PD，∴MN∥EC且MN=EC，
∴M NCE為平行四邊形，∴EM∥CN．
∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥CN，
又在正方形中ABCD中CN⊥BD，PD∩BD=D，
∴CN⊥面PBD，∴EM⊥面PBD．
∵EM?面PBE，∴面PBE⊥面PBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三視圖、異面直線(xiàn)所成的角、余弦定理、三角形的中位線(xiàn)定理、平行四邊形、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．