Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)相同，且C的離心率e=

1

2

，又A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線MA交直線x=4于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線MB的垂線交x軸于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，求點(diǎn)P在直線MB上射影的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先由拋物線y²=4x確定c的值，再利用橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則可得z，利用PQ⊥MB及M在橢圓上，即可求Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，從而可求H點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：（1）由題意知，橢圓右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)相同，
∴c=1，
∵橢圓的離心率為e=

1

2

，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1          （3分）
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），
則

MN

PD

=

AN

AD

，故z=

6y

x+2

．
設(shè)Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：

6y x+2

4-x0

×

y

x-2

=-1，
又M在橢圓上，故x²=4-

4

3

y2，化簡(jiǎn)得x₀=-

1

2

，即Q（-

1

2

，0）（8分）
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，
設(shè)E為QB中點(diǎn)，則|HE|=

1

2

|QB|=

5

4

，E（

3

4

，0），
因此H點(diǎn)的軌跡方程為(x-

3

4

)2+y2=

25

16

（y≠0）（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定橢圓中的幾何量，利用垂直關(guān)系，建立等式，屬于中檔題．