Question

已知函數(shù)f（x）=x³-a²x+2a，（a＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間[0，2]上恒有f（x）≥-，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間．
（2）在區(qū)間[0，2]上恒有f（x）≥-，等價于x∈[0，2]時f（x）_min≥-，借助（1）問函數(shù)的單調(diào)性可求其最小值．
解答：解：（1）f'（x）=x²-a²=（x-a）（x+a）（a＞0）
f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-a，f'（x）＜0⇒-a＜x＜a…（4分）
∴f（x）在（-∞，-a）和（a，+∞）上都單調(diào)遞增，在[-a，a]上單調(diào)遞減；…（6分）
（2）x=-a為函數(shù)y=f（x）的極大值點，x=a為函數(shù)y=f（x）的極小值點，…（8分）
①當0＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最小值為f（a）=-a³+2a，
∴-a³+2a，即（a+1）²（a-2）≤0，∴a≤2，又0＜a＜2
∴0＜a＜2…（11分）
②當a≥2時，函數(shù)y=f（x）在[0，2]上的最小值為f（2）=，
∴，∴-1≤a≤2
又a≥2，∴a=2，…（14分）
綜上，0＜a≤2．…（15分）．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導函數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的方法和步驟是解答的關鍵．