Question

已知α，β≠

π

2

+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中項，sinβ是sinθ、cosθ的等比中項．求證：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

Answer 1

證明：由題意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin²β ②，…（2分）
①²-2×②消去θ得4sin²α-2sin²β=1③．…（5分）
另一方面，要證

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

，即證

1- sin2α cos2α

1+ sin2α cos2α

=

1- sin2β cos2β

2(1+ sin2β cos2β )

 …（7分）
即證cos²α-sin²α=

1

2

（cos²β-sin²β）           …（9分）
即證1-2sin²α=

1

2

（1-2sin²β）           …（11分）
亦即證4sin²α-2sin²β=1，而此式在③已證，故原等式成立．…（13分）