【題目】設(shè)f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2(a∈R).
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0;
(2)若a>0,當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí),f(x)≤0時(shí)恒成立,求a的取值范圍.
(3)若當(dāng)﹣1<a<1時(shí),f(x)>0時(shí)恒成立,求x的取值范圍.
【答案】
(1)解:由不等式f(x)≥0可得,(ax﹣2)(x+1)≥0.
當(dāng)a=0時(shí),不等式可化為﹣2(x+1)≥0,解得x≤﹣1;
當(dāng)a≠0時(shí),方程(ax﹣2)(x+1)=0有兩根 .
若a<﹣2, ,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得 ;
若a=﹣2,不等式可化為﹣2(x+1)2≥0,解得x=﹣1;
若﹣2<a<0, ,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得 ;
若a>0, ,由(ax﹣2)(x+1)≥0,解得 ;
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x≤﹣1};當(dāng)a<﹣2時(shí),不等式的解集為 ;當(dāng)a=﹣2時(shí),不等式的解集為{﹣1};當(dāng)﹣2<a<0時(shí),不等式的解集為 ;當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為 .
(2)解:因a>0,f(x)≤0故函數(shù)f(x)開口向上,根據(jù)二次函數(shù)的特征,若要﹣1≤x≤1時(shí),f(x)≤0時(shí)恒成立,只需 即可.
因此,由 ,
解得0<a≤2.
所以,a的取值范圍為(0,2].
(3)解:若當(dāng)﹣1<a<1時(shí),設(shè)g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1)
因此,當(dāng)﹣1<a<1時(shí),f(x)>0時(shí)恒成立等價(jià)于當(dāng)﹣1<a<1時(shí),g(a)>0恒成立.
當(dāng)x=0時(shí),g(a)=﹣2<0,不符合題意;
當(dāng)x=﹣1時(shí),g(a)=0,不符合題意;
當(dāng)x≠0,x≠﹣1時(shí),只需 成立即可
即 ,解得﹣2≤x≤﹣1.
所以,x的取值范圍為[﹣2,﹣1)
【解析】(I)根據(jù)a=0和a≠0以及根的大小討論求解.(II)a>0,當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí),利用二次方程根的分布,可求a的取值范圍.(III)當(dāng)﹣1<a<1時(shí),設(shè)g(a)=a(x2+x)﹣2(x+1),g(a)>0恒成立.看成關(guān)于a的一次函數(shù)求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè),記的前項(xiàng)和為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F(xiàn)分別為邊AB,AD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,點(diǎn)A,F(xiàn)折起后分別為點(diǎn)A′,F(xiàn)′,得到四棱錐A′﹣BCDE.給出下列幾個(gè)結(jié)論:
①A′,B,C,F(xiàn)′四點(diǎn)共面;
②EF'∥平面A′BC;
③若平面A′DE⊥平面BCDE,則CE⊥A′D;
④四棱錐A′﹣BCDE體積的最大值為 .
其中正確的是(填上所有正確的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究所計(jì)劃利用宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載試驗(yàn),計(jì)劃搭載若干件新產(chǎn)品A,B,該研究所要根據(jù)產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載試驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)收益來決定具體安排,通過調(diào)查得到的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:
每件A產(chǎn)品 | 每件B產(chǎn)品 | |
研制成本、搭載試驗(yàn)費(fèi)用之和(萬元) | 20 | 30 |
產(chǎn)品重量(千克) | 10 | 5 |
預(yù)計(jì)收益(萬元) | 80 | 60 |
已知研制成本、搭載試驗(yàn)費(fèi)用之和的最大資金為300萬元,最大搭載重量為110千克,則如何安排這兩種產(chǎn)品進(jìn)行搭載,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,求最大預(yù)計(jì)收益是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,側(cè)面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60°,AC=3,AB=BC=2,E、F分別是A1C1 , AB的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面BB1C1C;
(2)求證:CE⊥面ABC.
(3)求四棱錐E﹣BCC1B1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某個(gè)年級(jí)有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, ,點(diǎn)E在棱PB上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(2)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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