Question

若不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、0＜a≤

  1

  16

• B、0＜a＜

  1

  16

• C、

  1

  16

  ≤a＜1
• D、

  1

  16

  ＜a＜1

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可判斷a＞1時(shí)不成立；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可判斷x²-log_ax在（0，

1

2

]上遞增，由單調(diào)性可得(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解出即可．

解答： 解：當(dāng)a＞1時(shí)，∵x∈（0，

1

2

]，∴l(xiāng)og_ax＜0，-log_ax＞0，
又x²＞0，∴x²-log_ax＞0，不合題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax在（0，

1

2

]上遞減，-log_ax在（0，

1

2

]上遞增，
又x²在（0，

1

2

]上遞增，
∴x²-log_ax在（0，

1

2

]上遞增，
∵不等式x²-log_ax≤0在x∈（0，

1

2

]內(nèi)恒成立，
∴(

1

2

)2-loga

1

2

≤0，解得

1

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≤a＜1，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：該題考查二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想．