Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x²-x+1對任意a∈（1，+∞）都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=1時，，f（0）=1，f'（0）=-2，
所以切線方程為y-1=-2x，即2x+y-1=0．…3
（Ⅱ）∵f'（x）=x²-ax-2a²，令x²-ax-2a²=0得x=-a或x=2a．
于是f'（x）＞0得x＜-a或x＞2a，f'（x）＜0得-a＜x＜2a．
所以x=-a時，f（x）取得極大值；
x=2a時，f（x）取得極小值．…2
要使方程f（x）=0恰有三個不同的實根，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，
所以，解之得．…2
（Ⅲ）要使f'（x）＜x²-x+1對任意a∈（1，+∞）都成立，
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，∴（1-a）x＜2a²+1．
∵a∈（1，+∞），
∴1-a＜0，于是對任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于的最大值．
∵，
當，即時取等號．
故．…5
分析：（I）先求出函數(shù)在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，最后根據(jù)點斜式可求出切線方程；
（II）利用導數(shù)分別求出函數(shù)的極大值和極小值，要使方程f（x）=0恰有三個不同的實根，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，建立不等式組，從而求出a的取值范圍；
（III）要使f'（x）＜x²-x+1對任意a∈（1，+∞）都成立，將x分離出來得，對任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于的最大值即可．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題和利用基本不等式求函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．