Question

如圖，在DABC中，D、E、F分別是邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且使，求證：DABC和DDEF的重心相同。

 

 

Answer 1

答案：
解析：

［證法一］  設(shè)DABC的重點(diǎn)為G，DDEF的重心為G¢，且設(shè)，(lÎR，l>0)，則對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O，有：， ，因?yàn)?img align="absmiddle" width=121 height=37 src="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/6060/0103/0026/9f0cafc3e1fa2461776d54c6d023d3d4/C/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1028">， 所以，，， 即： 所以，，所以，G與G¢重合。 ［證法二］  設(shè)DABC三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，其重心G的坐標(biāo)為(g1，g2)，設(shè)DABC三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D(d1，d2)，E(e1，e2)，F(f1，f2)，其重心G¢的坐標(biāo)為(g1¢，g2¢)。 則， ，， 因?yàn)?img align="absmiddle" width=121 height=37 src="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/6060/0103/0026/9f0cafc3e1fa2461776d54c6d023d3d4/C/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1038">，所以，，， 所以，，，，，，。 。 同理，d2+e1+f2=a2+b2+c2 所以，，， 故G與G¢重合。