Question

如圖：已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2．
（1）求異面直線BC與GE所成的角的余弦值；
（2）求平面CBG與平面BGD的夾角的余弦值；
（3）求三棱錐D-GEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CG為z軸建立空間直角坐標(biāo)．用坐標(biāo)表示向量，再利用夾角公式，可求異面直線BC與GE所成的角的余弦值；
（2）分別求出平面BCG、平面BDG的單位法向量，再利用夾角公式，求平面CBG與平面BGD的夾角的余弦值；
（3）根據(jù)GC⊥平面ABCD，可知GC為三棱錐G-DEF的高，利用V_D-GEF=V_G-DEF，可求三棱錐D-GEF的體積．
解答：解：如圖，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CG為z軸建立空間直角坐標(biāo)．
則依題意，有C（0，0，0），B（4，0，0），E（4，2，0），
F（2，4，0），D（0，4，0），G（0，0，2）．
（1）=（4，0，0），=（4，2，-2），
∴
∴…（4分）
（2）由題意可知，平面BCG的單位法向量=（0，1，0），
設(shè)平面BDG的單位法向量為=（x，y，z），
∵=（-4，0，2），=（0，-4，2），
得，∴，或，
取
∴．…（8分）
（3）∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD且EF與BD間的距離為，
又
∴．
又GC⊥平面ABCD，所以GC為三棱錐G-DEF的高，
∴．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以線面垂直為載體，考查空間向量的運(yùn)用，考查線線角，面面角，考查三棱錐的體積，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．