Question

已知雙曲線C：的右焦點為F₂，F(xiàn)₂在C的兩條漸近線上的射影分別為P、Q，O是坐標(biāo)原點，且四邊形OPF₂Q是邊長為2的正方形，
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）過F₂的直線l交C于A、B兩點，線段AB的中點為M，問|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直線l的方程；若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知C的兩條漸近線相互垂直，且F₂點到任一條漸近線的距離為2，
，
故雙曲線C的方程為。  
（Ⅱ）這樣的直線不存在，證明如下：
當(dāng)直線l的斜率不存在時，結(jié)論不成立；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為，
并設(shè)、，
由知，
，
則， 
故
這不可能；
綜上可知，不存在這樣的直線。