Question

已知拋物線(xiàn)x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點(diǎn)，圓與y軸正半軸交于C點(diǎn)，直線(xiàn)l是圓的切線(xiàn)，交拋物線(xiàn)與M，N，并且切點(diǎn)在上．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離和最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，拋物線(xiàn)x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點(diǎn)，可得，解可得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而由，知C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則直線(xiàn)l的方程為xx+yy=32，由此可求出直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（1）由，解得A（-4，4），B（4，4），由，解得C（0，4）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則直線(xiàn)l的方程為xx+yy=32，
當(dāng)x=0時(shí)，，
|MF|+|NF|=8，x²=32-y²，
，
∵，∴y₁+y₂有最大值20．
這時(shí)|MF|+|NF|=22，∴直線(xiàn)l的方程為x-y+8=0或x+y-8=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的直線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．