Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底邊ABCD為直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面CBD夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的共線關(guān)系得到線與線之間的平行關(guān)系，得到線與面平行的結(jié)論．
（II）根據(jù)面面垂直得到線線垂直，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出兩個(gè)字母之間的關(guān)系，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)數(shù)量積等于0，做出法向量，進(jìn)而求出面面角．

解答：解：設(shè)AB=a，PA=b，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，

b

2

）．
（Ⅰ）證明：

BE

=(0，a，

b

2

)，

AD

=(0，2a，0)，

AP

=(0，0，b)，
∴

BE

=

1

2

AD

+

1

2

AP

．
又∵BE?平面PAD
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即

BE

•

PC

=0．
又∵

PC

=(2a，2a，-b)，
∴

BE

•

PC

=2a2-

b2

2

=0．即b=2a
在平面BDE和平面BDC中，

BE

=(0，a，a)，

BD

=(-a，2a，0)，

BC

=(a，2a，0)，
∴平面BDE的一個(gè)法向量為

n1

=(2，1，-1)，
平面BDC的一個(gè)法向量為

n2

=(0，0，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=-

1

6

．
∴平面EBD與平面CBD夾角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評：本題第一小題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系的證明，主要應(yīng)用線面平行判斷定理，本題獲得定理成立的條件方法是向量法，第二小題考查用空間向量求二面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度比較大的二面角的求法，轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運(yùn)算．